矩阵乘法和矩阵逆的意义

矩阵乘法的意义

考虑最基本的矩阵乘法公式:

(1)b=Ax\bold b = \bold A\bold x \tag{1}

AA按列分块为A={α1,α2,...,αn}\bold A=\{\bold\alpha_1,\bold\alpha_2,...,\bold\alpha_n\},并将xx按行分块为x={x1,x2,...,xn}T\bold x=\{x_1,x_2,...,x_n\}^T ,则(1)(1)式可表示为:

(2)b=(α1α2...αn)(x1x2...xn)=x1α1+x2α2+...+xnαn\bold b= \left( \begin{array}{ccc} \bold \alpha_1 &\bold \alpha_2 & ... &\bold \alpha_n \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)= x_1\bold \alpha_1 + x_2\bold \alpha_2 +...+ x_n\bold \alpha_n \tag{2}

(2)(2)式可以看出,bb为列向量A={α1,α2,...,αn}A=\{\bold\alpha_1,\bold\alpha_2,...,\bold\alpha_n\}的线性组合。若将{α1,α2,...,αn}\{\bold\alpha_1,\bold\alpha_2,...,\bold\alpha_n\}视为空间中的一组基,b={b1,b2,...,bn}T\bold b = \{b_1,b_2,...,b_n\}^T表示向量x={x1,x2,...,xn}T\bold x=\{x_1,x_2,...,x_n\}^T(该坐标定义在空间基本正交基上,即E\bold E(单位矩阵))在基A={α1,α2,...,αn}\bold A=\{\bold\alpha_1,\bold\alpha_2,...,\bold\alpha_n\}下的向量,其坐标数值为其在基E\bold E下的坐标。
上面的语言可能不是很好理解。这里举一个二维空间中的例子,设点x\bold x在基E\bold E下的坐标为x={1,2}T\bold x =\{1,2\}^T;并对x={1,2}T\bold x=\{1,2\}^T执行运算b=Ax\bold b = \bold A \bold x,其中A=22(1111)\bold A =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right),可得运算结果如下图所示:
示例
其中红色箭头为单位矩阵E\bold E对应的基,在该基下,向量x\bold x的坐标为(1,2)(1,2);现在,将基E\bold E转变为基A\bold A(图中蓝色箭头代表基A\bold A),此时向量x\bold x在基A\bold A下的坐标仍为(1,2)(1,2),我们用符号b\bold b来表示这个向量,可以看到向量b\bold b由1个22(1,1)\frac{\sqrt 2}{2} (-1,1)和2个22(1,1)\frac{\sqrt 2}{2} (-1,-1)线性叠加而成。
不严谨地说,如果没有原始的基的参照,向量是无法“感觉”到基的变化的,x\bold x在基E\bold E下的坐标为(1,2)(1,2),而b\bold b在基A\bold A下的坐标也为(1,2)(1,2)。到现在为止我们还没有讨论运算b=Ax\bold b = \bold A \bold x起到什么作用,这个矩阵乘法其实起到了一个“翻译”功能。正式的说,它将b\bold b的在基A\bold A下的坐标转化为基E\bold E的坐标。
打一个比喻:小蓝生活在基A\bold A下的世界,他看到的x\bold x坐标为(1,2)(1,2),并且他认为自己所处的基为(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right);而小红生活在基E\bold E下的世界,并且她也认为自己所处的基为(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)。两个世界是相互隔离的。但某一天,某种神秘力量打开了一个虫洞,两个世界得以相互观察。此时小红发现小蓝所处的世界的基相对于自己世界的基而言为A=22(1111)\bold A =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right),而那个世界中的向量x\bold x相对于自己世界的基而言为:

x=Ax=22(1111)(12)=22(31)\bold x' = \bold A \bold x = \frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1\\2\end{array}\right) =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-3\\-1\end{array}\right)

此时小红认为,自己看到的向量是b\bold b,但其实x\bold xb\bold b都是指同一个向量,只是从不同基的世界中看到的表现不一样而已。可以看出,矩阵乘法在这里起到了同一个向量基与基之间“翻译”的作用。
这里可以有一点造物主的感觉,毕竟我们可以知道小红和小蓝生活的世界的基的绝对坐标,但小红和小蓝都认为他们生活的世界的基为(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)(不知道笔者处的世界的基是什么样子,但起码笔者认为是(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right))。他们对彼此世界的评判,都是基于自身所在世界的基。上面我们讨论了小红看小蓝世界的中向量b\bold b的坐标,但是如果是小蓝看小红的呢?

矩阵的逆的意义

小蓝看小红的世界,会发现小红世界的基,相对于自己的世界,其坐标为

A1=[22(1111)]1=22(1111)\bold A^{-1} =[\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right)]^{-1} =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &1 \\-1&-1\end{array}\right)

假设小红的世界也有一个向量y\bold y,而小红认为该向量的坐标为(322,22)(\frac{-3 \sqrt 2}{2},\frac{-\sqrt 2}{2})。此时小蓝会认为该向量的坐标为:

y=A1y=22(1111)(32222)=(12)\bold y' = \bold A^{-1} \bold y =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &1 \\-1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}\frac{-3 \sqrt 2}{2} \\ \frac{-\sqrt 2}{2} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}1\\2 \end{array}\right)

可以看出,矩阵及其逆为两个不同基的世界相互观察的结果。

感觉可以开一个矩阵运算说明的专题,有空整理一下吧

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